affine 空閒
affine space。線形多樣體
affinis (類似。關聯)
$ Aを臺集合とし$ Vを n-次元線形空閒とすると、組$ (A,V)は以下を滿たすならば n-次元 affine 空閒と呼ぶ。$ Vを附隨する線形空閒と呼び$ V(A)とも書く 平行移動を定義できる
$ \forall P_{\in A}\forall{\bf a}_{\in V}\exist!Q_{\in A}(\overrightarrow{PQ}={\bf a}).
$ Qを$ T_{\bf a}(P)或いは$ P+{\bf a}と書く
寫像$ T_{\bf a}:A\to Aを、vector$ \bf aの定める平行移動と呼ぶ
$ T:A\times V\to A,$ (P,{\bf a})\mapsto P+{\bf a}
$ T_-(O):V\to A,$ (O,{\bf a})\mapsto O+{\bf a}は
$ \forall P,Q_{\in A}\exist!{\bf a}_{\in V}(P+{\bf a}=Q).
平行移動は vector の和を保存する$ T_{\bf a};T_{\bf b}=T_{{\bf a}+{\bf b}}
平行移動と vector の和は可換である$ (P+{\bf a})+{\bf b}=P+({\bf a}+{\bf b}).
affine 幾何
affine 寫像 (affine map)
寫像$ f:A\to Bと線形写像$ V(f):V(A)\to V(B)との組$ (f,V(f)):(A,V(A))\to(B,V(B))は、以下を滿たすならばaffine 寫像と呼ぶ
臺集合と附隨する線形空閒との對應を保存する。$ a=\overrightarrow{PQ}ならば$ V(f)({\bf a})=\overrightarrow{f(P)f(Q)} 平行移動を保存する$ f(P+{\bf a})=f(P)+V(f)({\bf a}).
affine 變換 (affine transformation)
$ (A,V(A))\to(A,(V(A)),$ x\mapsto Ax+b
$ \begin{pmatrix}y \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A & b \\ 0,…,0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix}.
affine 槪型 (affine scheme)
affine 演算 (affine arithmetic)